1、不定积分的概念与性质图文

2、不得不懂的软装概念图文

一、原函数与不定积分的概念
定义： 如果在区间I 内， 可导函数F ( x ) 的
导函数为 f ( x ) ， 即?x ? I ，都有 F ?( x ) ? f ( x )

或dF ( x ) ? f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )

I 内原函数. 或 f ( x )dx 在区间
例

?sin x ?? ? cos x
?

sin x 是cos x 的原函数.

1 ?ln x ? ? ( x ? 0) x 1 ln x 是 在区间(0,?? )内的原函数. x

原函数存在定理：
I 内连续， 如果函数 f ( x ) 在区间
那么在区间I 内存在可导函数 F ( x ) ， 使?x ? I ，都有F ?( x ) ? f ( x ) .
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例

?sin x ? ? cos x

?

?sin x ? C ? ? cos x
（C 为任意常数）

?

关于原函数的说明：
（1）若 F ?( x ) ? f ( x ) ，则对于任意常数 C ，

F ( x ) ? C 都是 f ( x ) 的原函数.
（2）若 F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数，
则 F ( x ) ? G( x ) ? C 证 ? （C 为任意常数）

?F ( x ) ? G ( x )?

? F ?( x ) ? G ?( x ) ? f ( x) ? f ( x) ? 0

?

? F ( x ) ? G ( x ) ? C （C 为任意常数）

不定积分的定义：
在区间I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意
常数项的原函数 称为 f ( x ) 在区间 I 内的

不定积分，记为? f ( x )dx .

积 被 分 积 号 函 数

? f ( x )dx ? F ( x ) ? C
被 积 表 达 式

积 分 变 量

任 意 常 数

例1 求 ? x dx .
6 ?x ? x 5 5 解 ? ? ? ? x , ? ? x dx ? ? C. 6 ? 6?

5

6

?

1 例2 求 ? dx. 2 1? x ? 解 ? ?arctan x ? ?

1 , 2 1? x

1 ? ? dx ? arctan x ? C . 2 1? x

例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.

解

设曲线方程为 y ? f ( x ),

dy 根据题意知 ? 2 x, dx 即 f ( x ) 是2 x 的一个原函数.
? ? 2 xdx ? x ? C ,
2

? f ( x) ? x ? C ,
2

由曲线通过点（1，2）? C ? 1,
2 y ? x ? 1. 所求曲线方程为

函数 f ( x ) 的原函数的图形称为 f ( x ) 的积分曲线.

显然，求不定积分得到一积分曲线族.
由不定积分的定义，可知

d dx

?? f ( x)dx? ? f ( x),

d [ ? f ( x )dx ] ? f ( x )dx ,

? F ?( x )dx ? F ( x ) ? C , ? dF ( x ) ? F ( x ) ? C .
结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.

二、 基本积分表
? ?1 ?x ? x 实例 ? ? ? x ? ? ? x ? dx ? ? C. ??1 ? ? ? 1? ( ? ? ?1)

? ?1

?

启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.

基 (1) 本 ( 2) 积 分 ( 3) 表

x ? x dx ? ? ? 1 ? C (? ? ?1); dx ? x ? ln x ? C; dx ? ln x ? C , 说明： x ? 0, ? ? x ? 1 1 ( ? x )? ? , x ? 0, [ln(? x )]? ? ?x x dx dx ? ? ? ln(? x ) ? C , ? ? ? ln | x | ? C , x x dx ? ln x ? C . 简写为 ? x
?

C ? kdx ? kx ? ? ?1

( k是常数);

1 arctan x ? C ; ( 4) ? dx ? 1 ? x2 1 ( 5) ? dx ? arcsin x ? C ; 2 1? x (6) ? cos xdx ? sin x ? C ;

(7)
( 8)

? sin xdx ? ? cos x ? C ; dx 2 ? sec xdx ? tan x ? C ; ? cos2 x ?

dx (9) ? 2 ? ? csc2 xdx ? ? cot x ? C ; sin x

(10) ? sec x tan xdx ? sec x ? C ; (11) ? csc x cot xdx ? ? csc x ? C ;
x x e dx ? e ? C; ? x a x ? C; (13) ? a dx ? ln a (14) ? sinh xdx ? cosh x ? C ;

(12)

(15) ? cosh xdx ? sinh x ? C ;

例4 求积分 ? x 解

2

xdx .
5 2

2 x ? xdx ? ? x dx

根据积分公式（2）? x dx ?
7 x 2 2 ? ? C ? x ? C. 5 7 ?1 2

?

x

? ?1

5 ?1 2

? ?1

?C

三、 不定积分的性质
(1)
证

?? f ( x )dx ? ? g( x )dx ? ? ? ? ?? f ( x )dx ? ? ?? g( x )dx ? ? f ( x ) ? g( x ).
?

? [ f ( x ) ? g( x )]dx ? ? f ( x )dx ? ? g( x )dx;
?

? 等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）

( 2)

? kf ( x )dx ? k ? f ( x )dx .

（k 是常数，k ? 0 )

3 2 ? )dx . 例5 求积分 ? ( 2 2 1? x 1? x 3 2 解 ?( ? )dx 2 2 1? x 1? x 1 1 ? 3? dx ? 2 ? dx 2 2 1? x 1? x ? 3 arctan x ? 2 arcsin x ? C

1 ? x ? x2 dx . 例6 求积分 ? 2 x(1 ? x )
解

1 ? x ? x2 x ? (1 ? x 2 ) ? x(1 ? x 2 ) dx ? ? x(1 ? x 2 ) dx
1? 1 1 ? 1 ? ?? ? ?dx ? ? dx ? ? dx 2 2 x? 1? x x ?1? x

? arctan x ? ln x ? C .

1 ? 2x dx . 例7 求积分 ? 2 2 x (1 ? x )
解

2

1 ? 2x 1 ? x2 ? x2 ? x 2 (1 ? x 2 )dx ? ? x 2 (1 ? x 2 ) dx
2

1 1 ? ? 2 dx ? ? dx 2 x 1? x 1 ? ? ? arctan x ? C . x

1 dx. 例8 求积分 ? 1 ? cos 2 x
解

1 1 ? 1 ? cos 2 x dx ? ? 1 ? 2 cos 2 x ? 1 dx 1 1 1 ? ? dx ? tan x ? C . 2 2 cos x 2

说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.

例 9

已知一曲线 y ? f ( x ) 在点( x , f ( x )) 处的
2

y 轴的交 切线斜率为sec x ? sin x ，且此曲线与
点为( 0,5)，求此曲线的方程.

解

dy 2 ? ? sec x ? sin x , dx ? y ? ? ?sec2 x ? sin x ?dx
? tan x ? cos x ? C ,

? y(0) ? 5,

? C ? 6,

所求曲线方程为 y ? tan x ? cos x ? 6.

四、 小结
F ?( x ) ? f ( x ) 原函数的概念：

不定积分的概念： ? f ( x )dx ? F ( x ) ? C

基本积分表(1)
求微分与求积分的互逆关系

不定积分的性质

思考题
?1, x ? 0 ? 符号函数 f ( x ) ? sgn x ? ?0, x ? 0 ? ? 1, x ? 0 ?
在 ( ?? , ? ? ) 内是否存在原函数？为什么？

思考题解答
不存在.

?x ? C, x ? 0 假设有原函数 F ( x ) F ( x ) ? ? x?0 ?C , ?? x ? C , x ? 0 ?
但 F ( x ) 在x ? 0 处不可微，

故假设错误

所以 f ( x ) 在 ( ?? , ? ? ) 内不存在原函数. 结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.

一、填空题： 1 、一个已知的函数，有______ 个原函数，其中任意 两个的差是一个______； 2 、 f ( x ) 的________称为f ( x ) 的不定积分； 3 、把 f ( x ) 的一个原函数F ( x ) 的图形叫做函数f ( x ) 的________，它的方程是y ? F ( x ) ，这样不定积 ? f ( x )dx 在几何上就表示________，它的方程是 y ? F ( x) ? C ；
' F ( x) ? f ( x) 可 知 ， 在 积 分 曲 线 族 4 、由 y ? F ( x ) ? C ( C是任意常数 ) 上横坐标相同的点

练习题

处作切线，这些切线彼此是______的； f ( x) f ( x) 5 、若 在某区间上______，则在该区间上 的 原函数一定存在；

6 、? x xdx ? ______________________； dx ? _______________________； 7 、? 2 x x 8 、? ( x 2 ? 3 x ? 2)dx ? _________________；

3 9 、? ( x ? 1)( x ? 1)dx ? _____________； (1 ? x ) 2 dx ? =____________________ . 10 、 ? x

二、求下列不定积分：
x2 dx 1、 ? 2 1? x
2? 3x ? 5? 2x dx 2 、? 3x

cos 2 x x dx 3、 ? cos dx 4、? 2 2 2 cos x sin x 1 5、 ? (1 ? 2 ) x x dx x x 2 ? sin 2 x 2 sec xdx 6、 ? 2 x ?1
2

三、一曲线通过点( e 2 , 3 ) ，且在任一点处的切线的斜 率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 .
1 2x x ex x 四、证明函数 e , e sinh x 和 e cosh x都是 2 cosh x ? sinh x 的原函数 .

练习题答案
一、1、无穷多,常数； 2、全体原函数； 3、积分曲线,积分曲线族； 4、平行； 5、连续； 5 3 2 2 2 ?2 6、 x ? C ； 7 、 ? x ? C ； 5 3 x3 3 2 8、 ? x ? 2 x ? C ； 3 2 5 3 x3 2 2 2 2 9、 ? x ? x ? x ? C 、 3 5 3 3 5 4 2 2 2 2 x ? x ? x ?C. 10、 3 5

2 x 5( ) 3 ?C； 二、1、 x ? arctan x ? C ； 2、2 x ? ln 2 ? ln 3 x ? sin x 4. ? (cot x ? tan x ) ? C ； ?C； 3、 2 2 4( x ? 7 ) ?C； 5、 6、tan x ? arc cot x ? C . 4 7 x

三、 y ? ln x ? C .



不得不懂的软装概念图文

不得不懂的软装概念

《居尚中国软装配饰机构》手册解释:软装是关于整体环境、空间美学、陈设艺术、生活功能、材质风格、意境体验、个性偏好，甚至风水文化等多种复杂元素的创造性融合，是软装的每一个区域、每一种产品都是整体环境的有机组成部分。也是在商业空间环境与居住空间环境中所有可移动的元素统称软装，也可称为软装修、软装饰。软装的元素包括家具、装饰画、陶瓷、花艺绿植、布艺、灯饰、其它装饰摆件等;软装范畴包括家庭住宅、商业空间，如酒店、会所、餐厅、酒吧、办公空间等等，只要有人类活动的室内空间都需要软装陈设。

软装，即在商业空间与居住空间中所有可移动的元素统称软装。软装修、软装饰。软装的元素包括家具、装饰画、陶瓷、花艺绿植、窗帘布艺、灯饰、其它装饰摆件等；软装范畴包括家庭住宅、商业空间，如酒店、会所、餐厅、酒吧、办公空间等等，只要有人类活动的室内空间都需要陈设。家居店的陈列设计也是家居陈设设计师的另一个发展空间。他们需要设计师对店面及橱窗进行陈列设计，以吸引更多的顾客，提升品牌形象、提高销售。

软装概念

家居陈设涵盖大家所知的软装饰、后期配饰、家居店面陈列设计，是主要针对家庭空间、商业空间、样板间的家具、画、陶瓷、花艺、布艺、灯饰等的装饰设 计以及家具、家居饰品卖场的陈列设计，通过饰品、艺术品的陈列设计赋予空间更多的文化内涵和品位。主要针对高端人群、经济条件相对优越，对空间要求较高的 客户，他们会有这个需求，而且随着人们生活水平的提高，家居陈设的需求越来越旺盛，所以市场潜力非常巨大。

“软装饰”更可以根据居室空间的大小形状、主人的生活习惯、兴趣爱好和各自的经济情况，从整体上综合策划装饰装修设计方案，体现出主人的个性品位，而不会“千家”一面。相对于硬装修一次性、无法回溯的特性，软装修却可以随时更换，更新不同的元素。不同季节可以更换不同的色系、风格的窗帘、沙发套、床罩、挂毯、挂画、绿植等等元素。

现今的家居装修中软装的设计不容忽视，一副画一个摆件无不体现居者的品位及个性，如何在家居空间里合理利用软装来为你的生活空间增光添彩就成了重要的环节！萧伯纳曾说过“你有一个思想，我有一个思想，我们在进行交换的时候，就会各自拥有两种思想。”对于家居软装设计师来说，思想可以改变设计师的设计思路、理念甚至未来。

软装设计

家居软装设计在视觉上将数学与美学相结合可谓是常用的手法之一，比如几何图形在家具上的运用：若用繁杂的手法表现会物极必反，给人夸张的不踏实感；若单纯地删繁就简，又充满了刻板守旧的味道。从视觉效果看，人们对色彩的反应最为强烈，家居的配色设计与空间规划所营造的氛围能够直接触碰到人的内心。而要想简单地就达到这种感觉，灯光是极佳的营造工具，设计师对照明技术的精通和对灯饰风格的了解所陈列出的家居风格被消费者青睐，是十分常见的现象，正所谓灯光是空间的灵魂。