因式分解的几种方法

　　导语：因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用。是解决许多数学问题的有力工具。把一个多项式在一个范围(如有理数范围内分解，即所有项均为有理数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

　　因式分解的几种方法

　　1、提公因法

　　如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

　　例1、分解因式x3-2x2-x

　　x3-2x2-x=x(x2-2x-1)

　　2、应用公式法

　　由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

　　例2、分解因式a2+4ab+4b2

　　解：a2+4ab+4b2=(a+2b)2

　　3、分组分解法

　　要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)

　　例3、分解因式m2+5n-mn-5m

　　解：m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n

　　= (m2-5m)+(-mn+5n)

　　=m(m-5)-n(m-5)

　　=(m-5)(m-n)

　　4、十字相乘法

　　对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)

　　例4、分解因式7x2-19x-6

　　分析：1×7=7,2×(-3)=-6

　　1×2+7×(-3)=-19

　　解：7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)

　　5、配方法

　　对于那些不能利用公式法的多项式，有的.可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

　　例5、分解因式x2+6x-40

　　解x2+6x-40=x2+6x+(9) -(9 ) -40

　　=(x+ 3)2-(7 )2

　　=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]

　　=(x+10)(x-4)

　　6、拆、添项法

　　可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

　　例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

　　解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

　　=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

　　=(c+b)(c-a)(a+b)

　　7、换元法

　　有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

　　例7、分解因式2x4–x3-6x2-x+2(也叫相反式，在这里以二次项系数为中心对称项的系数是相等的，如四次项与常数项对称，系数相等，解法也是把对称项结合在一起)

　　解：2x4–x3-6x2-x+2=2(x4+1)-x(x2+1)-6x2

　　=x2{2[x2+()2]-(x+)-6}

　　令y=x+,

　　x2{2[x2+()2]-(x+)-6}

　　= x2[2(y2-2)-y-6]

　　= x2(2y2-y-10)

　　=x2(y+2)(2y-5)

　　=x2(x++2)(2x+-5)

　　=(x2+2x+1)(2x2-5x+2)

　　=(x+1)2(2x-1)(x-2)

　　8、求根法

　　令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)(一般情况下是试根法，并且一般试-3,-2,-1,0,1,2,3这些数是不是方程的根)

　　例8、分解因式2x4+7x3-2x2-13x+6

　　解：令f(x)=2x4+7x3-2x2-13x+6=0

　　通过综合除法可知，f(x)=0根为，-3，-2，1 ,

　　则2x +7x -2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

　　9、图象法

　　(这种方法在以后学函数的时候会用到。现在只是作为了解内容，它和第八种方法是类似的)

　　令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x1,x2,x3,……xn，则多项式可因式分解为

　　f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)

　　例9、因式分解x3+2x2-5x-6

　　解：令y=x3+2x2-5x-6

　　作出其图象，可知与x轴交点为-3，-1，2

　　则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

　　10、主元法

　　先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

　　例10、分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)

　　分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列

　　解：a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=a2(b-c)-a(b2-c2)+bc(b-c)

　　=(b-c) [a2-a(b+c)+bc]

　　=(b-c)(a-b)(a-c)

　　11、利用特殊值法

　　将2或10(或其它数)代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x3+9x2+23x+15

　　解：令x=2，则x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105

　　将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7

　　注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值

　　则x3+9x2+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

　　12、待定系数法

　　首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

　　例12、分解因式x4–x3-5x2-6x-4

　　如果已知道这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

　　解：设x4–x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)

　　= x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd

　　从而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4

　　所以解得

　　则x4–x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)