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2、高中数学竞赛教程PDF

篇一：人教版必修1高一数学全套打包,150页)

人教版高中数学必修1精品教案(整套)

课题：集合的含义与表示(1)

课 型：新授课

教学目标：

（1） 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特

征；

（2） 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系；

（3） 掌握常用数集及其记法；

教学重点：掌握集合的基本概念；

教学难点：元素与集合的关系；

教学过程：

一、引入课题

军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容

二、新课教学

（一）集合的有关概念

1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们

能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2. 一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

3. 思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

（1） 大于3小于11的偶数；

（2） 我国的小河流；

（3） 非负奇数；

（4） 方程x2?1?0的解；

（5） 某校2007级新生；

（6） 血压很高的人；

（7） 著名的数学家；

（8） 平面直角坐标系内所有第三象限的点

（9） 全班成绩好的学生。

对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

4. 关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具

体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集

合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中

不应重复出现同一元素。

（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。

（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

5. 元素与集合的关系；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not

belong to）A，记作：a?A

例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A

4?A，等等。

6．集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A，

B，C?表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,?表示。

７．常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R；

（二）例题讲解：

例1．用“∈”或“?”符号填空：

（1）； （2）N；

（3）； （4

；

（5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国，

美国A，印度 A，英国 A。

例2．已知集合P的元素为1,m,m2?3m?3, 若3∈P且-1?P，

求实数m的值。

（三）课堂练习：

课本P5练习1；

归纳小结：

本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了常用集合及其记法。

作业布置：

1．习题1.1，第1- 2题；

2．预习集合的表示方法。

课后记:

课 型：课题：新授课集合的含义与表示(2)

篇二：人教版高一数学必修一电子课本1

第一章 集合与函数概念

1.1 集合

1.1.1 集合的含义与表示

1.1.2 集合间的基本关系

1.1.3 集合的基本运算

1.2 函数及其表示

1.2.1 函数的概念

1.2.2 函数的表示法

1.3 函数的基本性质

1.3.1单调性与最大（小）值

1.3.2 奇偶性

第二章 基本初等函数

2.1 指数函数

2.1.1 指数与指数幂的运算

2.1.2 指数函数及其性质

2.2 对数函数

2.2.1对数与对数运算（一）

2.2.1对数与对数运算（二）

2.2.2对数函数及其性质

2.3 幂函数

第三章 函数的应用

3.1 函数与方程

3.1.1 方程的根与函数的零点

3.1.2 用二分法求方程的近似解

3.2 函数模型及其应用 1

2

3

4

5

篇三：高中数学新课标必修教材

高中数学新课标必修教材

算法初步

（试验稿）

合肥北大附属试验学校高中数学新课标教改课题组

编写者查建敏 张益福

康永久 王亚东

2004.11.10

算法初步（约12课时）

1算法的含义、程序框图

1.1 算法的意义 1课时

1.2 程序框图 3课时

2 基本算法语句

2.1 输入语句、输出语句、赋值语句2课时

2.2 条件语句、循环语句 2课时

综合算法语句应用1课时

3 阅读材料：中国古代算法案例 2课时

1算法的含义、程序框图

1.1 算法的意义

在初中我们学过解一元一次方程，它的解法一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、方程两边同除以未知数的系数。

我们还学过解二元一次方程组，如解方程组：

(Ⅰ)

2x?y?6① 3x?y?4②

回顾用代入消元的解法。

方程①化为； y=2x-6③

将③式代入② 消出y得 3x＋（2x-6）＝4

解得 x=2

将x=2代入③得 y=-2

所以 x=2., y= -2 是此方程组的解。

一般地，用消元法解二元一次方程：

(Ⅱ)

a1x?b1y?c1 ①

a2x?b2y?c2②

的解法是；

第一步 由方程①化出 一个未知数用另一个未知数表示地式子③；

第二步 将式③代入方程②消去一个未知数，解出另一个未知数的值；

第三步 将所解出的值代入③，求出第二个未知数的值；

第四步 写出方程的解。

上述解法也可以用框图表示；

或用下面的框图表示：

上面解一元一次方程、二元一次方程组的解法都是按步骤的解决问题的方法，也可以叫做解一元一次方

程、二元一次方程组的算法。一般地，人们把进行某一工作的方法和步骤称为算法。

生活中，电器说明书是使用该电器的算法，歌谱是唱一首歌曲的算法，课程表是上课的算法，?等等。在本章中，

我们主要研究数学中的一些问题的算法，特别是讨论计算机能实现的算法。

你能说出加减消元法解二元一次方程组(Ⅰ)的算法吗？并且试用框图表示它。

练习

1. 举出一些生活中算法的例子，与同伴交流一下。

2 说出解不等式 3x-7>5 的算法。

3. 写出解方程组

3x?4y??11 ① x?3y?5 ②

的一种算法。

习题1

1、 写出解不等式组：

2x+3>7

①

3x-5<10 ②

的算法。

2、写出画函数y=2x-6的图象的算法。

3、写出解一元二次方程ax2?bx?c?0的算法。

4、写出加减消元法解二元一次方程组(Ⅱ)的算法，并用框图表示它。

1.2程序框图

通过前面的学习我们已经知道了可用框图来表示二元一次方程组的解法。这种框图称为程序框图。程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来表示算法的图形。这些图形符号的意义见下表：

图形符号名称 功能

输入、输出框 数据的输入或结果的输出

处理框（执行框） 赋值、计算、结果的传送 起、止框流程图的开始或结束

判断框 根据给定条件判断

流程线 流程进行的方向

起、止框是任何流程不可缺少的，它表明程序开始和结束，输入和输出可用在算法中任何需要输入、输出的位置。算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框内。当算法中需要对两个不同的结果进行判断时，此时的判断条件要写在判断框内。一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一种则有多个分支判断，有几种不同的结果。

程序框图用来直观地描述解决问题的算法过程，将算法步骤清晰地表达出来，因而能帮助我们编写解决问题的程序。 下面我们分别学习程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、选择结构、循环结构。

1．2．1 顺序结构

顺序结构算法的操作顺序是按照书写顺序执行的,这是任何一个算法必有的基本结构，是最简单的算法结构。 例1 写出求方程ax+b=c（ａ≠0，a、b、c为常数）的解的算法及程序框图。

解： 它的算法是：

第一步：输入a,b,c

第二步：将常数b移到方程右边

第三步：计算c-b

第四步：方程两边同除以a，得x=（c-b）/a

第五步：输出x的值。

像这样的算法就是一个顺序结构的算法，只要按照书写顺序完成以上五个步骤，就能得出方程解的值x。

例2．已知三角形面积公式为s=p(p?a)(p?b)(p?c)，其中a,b,c为三角形三边。P=（a+b+c）/2，用顺序结构的算法求当a=2，b=3，c=4时的面积。

解：它的算法是：

第一步：输入a：=2，b：=3，c：=4

第二步：计算p=（a+b+c）/2

第三步：计算三角形的面积s=p(p?a)(p?b)(p?c)

2 选择结构

我们已经学习了一元一次不等式ax>b（a≠0）的解法。如何写出解这个不等式的算法呢？因为在a>0与a<0时的解法不同,在写出顺序结构时,就要选择其中的一种进行运算，在计算机执行运算时，常先判定a的符号，如是否a>0?当输入的a 第四步：输出 练习： 1． 2． 3．

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篇一：2015年全国高中数学联合竞赛培训教材

2011高中数学竞赛培训教材

编者：全国特级教师

(一)集合与容斥原理

集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。

一、学习集合要抓住元素这个关键

例1．设A＝X∣X=a2+b2,a、b∈Z，X1，X2∈A，求证：X1X2∈A。

分析：A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25??，n2，??中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2，M,N∈Z

证明：设X1＝a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、d∈Z.则X1X2＝(a2+b2)(c2+d2)

＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2＝a2c2+2ac2bd+b2d2+b2c2-2bc2ad+a2d2＝(ac+bd)2+(bc-ad)2

又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而X1X2∈A

练习:1.设两个集合S=x|x=12m+8n,m,n∈Z,T=x|x=20p+16q,p,q∈Z.求证：S=T。

2.设M=a|a= x2-y2,x,y∈Z.求证：（1）一切奇数属于M;

（2）4k-2(k∈Z)不属于M;

（3）M中任意两个数的积仍属于M。

3.已知函数f（x）=x2+ax+b,a,b∈R,且A=x|x=f(x),B=x|x=f[f(x)].

(1)求证:AB;

(2)若A=-1，3时，求集合B.

二、集合中待定元素的确定

例2．已知集合M＝X，XY，lg(xy)，S＝0，∣X∣，Y，且M＝S，则(X＋1/Y)＋(X2＋1/Y2)＋??＋(X2002＋1/Y2002)的值等于( ).

分析：解题的关键在于求出X和Y的值，而X和Y分别是集合M与S中的元素。这一类根据集合的关系反过来确定集合元素的问题，要求我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集合之间的基本关系(子、全、补、交、异、空、等)有本质的理解，对于两个相等的有限集合(数集)，还会用到它们的简单性质：(a)相等两集合的元素个数相等；(b)相等两集合的元素之和相等；(c)相等两集合的元素之积相等.

解：由M＝S知，两集合元素完全相同。这样，M中必有一个元素为0，又由对数的性质知，0和负数没有对数，所以XY≠0，故X，Y均不为零，所以只能有lg(XY)＝0，从而XY＝1.∴M＝X，1，0，S＝0，∣X∣，1/X.再由两集合相等知

当X＝1时，M＝1,1，0，S＝0,1，1，这与同一个集合中元素的互异性矛盾，故X＝1不满足题目要求；

当X＝－1时，M＝－1,1，0，S＝0,1，－1，M＝S，从而X＝－1满足题目要求，此时Y＝－1，于是X2K＋1＋1/Y2K＋1＝－2(K＝0,1，2，??)，X2K＋1/Y2K＝2(K＝1,2，??),故所求代数式的值为0.

22222a,a2,a3,a4,a5A?a,a,a,a,aB?a,a,a,a,a12345，12345，其中1练习:4.已知集合是正整数，????

且a1?a2?a3?a4?a5，并满足A?B??a1,a4?，a1?a4?10,若A?B中的所有元素之和为234，求集合A。

三．容斥原理

基本公式:(1)card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)； (2)card(A∪B∪

C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)

问题：开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？

设A＝参加游泳比赛的同学，B＝参加田径比赛的同学，C＝参加球类比赛的同学,则card(A)=15，card(B)=8，card(C)=14，card(A∪B∪C)=28,且card(A∩B)=3，card(A∩C)=3，card(A∩B∩C)=0,由公式②得28＝15＋8＋14－3－3－card(B∩C)+0,即card(B∩C)=3,所以同时参加田径和球类比赛的共有3人，而只参加游泳比赛的人有15－3(转 载 于: 小 龙文 档 网:高中数学竞赛教程pdf)－3＝9(人)

四、有限集合子集的个数

例3．一个集合含有10个互不相同的两位数。试证，这个集合必有2个无公共元素的子集合，此两子集的各数之和相等。

分析：两位数共有10,11，??,99，计99－9＝90个，最大的10个两位数依次是90,91，??,99，其和为945，因此，由10个两位数组成的任意一个集合中，其任一个子集中各元素之和都不会超过945，而它的非空子集却有210－1＝1023个，这是解决问题的突破口。

解：已知集合含有10个不同的两位数，因它含有10个元素，故必有210＝1024个子集，其中非空子集有1023个，每一个子集内各数之和都不超过90＋91＋?98＋99＝945<1023，根据抽屉原理，一定存在2个不同的子集，其元素之和相等。如此2个子集无公共元素，即交集为空集，则已符合题目要求；如果这2个子集有公共元素，则划去它们的公共元素即共有的数字，可得两个无公共元素的非空子集，其所含

各数之和相等。

说明：此题构造了一个抽屉原理模型，分两步完成，计算子集中数字之和最多有945个“抽屉”，计算非空子集得1023个“苹果”，由此得出必有两个子集数字之和相等。第二步考察它们有无公共元素，如无公共元素，则已符合要求；如有公共元素，则去掉相同的数字，得出无公共元素并且非空的两个子集，满足条件。

例4．设A＝1,2，3，?，n，对XA，设X中各元素之和为Nx，求Nx的总和.

解：A中共有n个元素，其子集共有2n个。A中每一个元素在其非空子集中都出现了2n-1次，(为什么？因为A的所有子集对其中任一个元素i都可分为两类，一类是不含i的，它们也都是1,2，?，i-1,i+1,?n的子集，共2n-1个；另一类是含i的，只要把i加入到刚才的2n-1个子集中的每一个中去)。因而求A的所有子集中所有元素之和Nx的总和时，A中每一个元素都加了2n-1次，即出现了2n-1次，故得

2n-2 ＝132n-1＋232n-1＋?＋n??2n-1＝(1＋2＋?＋n)22n-1＝n(n+1)/232n-1＝n(n+1)3

说明：这里运用了整体处理的思想及公式1＋2＋?＋n＝(1/2)n(n+1)，其理论依据是加法的交换律、结合律、乘法的意义等,集合中每一个元素都在总和中出现了2n-1次，是打开解题思路之门的钥匙。

练习:5.设集合A

值.

6.某地区网球俱乐部都有20名成员,举行14场单打比赛,每人至少上场1次.求证:必有6场比赛,其12名参赛者各不相同.

(二) 二 次 函 数

一、二次函数的解析式:①定义式：f(x)=ax2+bx+c.②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k.

③零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2).(a≠0)

二、二次函数的最值:当自变量的取值范围为闭区间[p,q]时，其最值在f(p)、f(q)、f(-b/2a)三者

1,2,3,??,100,且对任意x,y∈A,必有2x≠y,求集合A中所含元素个数的最大

中取得，最值情况如下表：

例1. 当x为何值时，函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+?+(x-an)2取最小值。

解：∵f(x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+?+(x2-2anx+an2)=nx2-2(a1+a2?+an)x+(a12+a22+?+an2)∴当x=(a1+a2+?+an)/n时，f(x)有最小值.

例2.已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0的两个实数根，x12+x22的最大值是____.

解：由韦达定理得：x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5.∴x12＋x22＝（x1＋x2）2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5 =-k2-10k-6=-(k+5)2+19 .已知x1,x2是方程的两个实根，即方程有实数根，此时方程的判别式Δ≥0，即Δ＝(k-2)2-4(k2+3k+5) =-3k2-16k-16≥0 解得：-4≤k≤-4/3.∵k=-5

f(k)=-(k+5)2+19则f(-4)=18,f(-4/3)=50/9<18.∴当k=-4时，(x12+x22)max=18.

例3.已知f(x)=x2-2x+2，在x∈[t,t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。

解：f(x)=(x-1)2+1 (1)当t+1<1即t<0时，g(t)=f(t+1)=t2+1

(2)当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，g(t)=f(1)=1 (3)当t>1时，g(t)=f(t)=t2-2t+2 [-4,-4/3]，设

综合（1）、（2）、（3）得：

例4．（1）当x2+2y2=1时，求2x+3y2的最值；（2）当3x2+2y2=6x时，求x2+y2的最值。 解：（1）由x2+2y2=1得y2=1/2(1-x2)，2x+3y2=2x+(3/2)(1-x2)=(-(3/2))(x-(2/3))2+(13/6) 又1-x2=2y2≥0，∴x2≤1，－1≤x≤1 .∴当x=2/3时，y=(√10)/6，（2x+3y2）max=16/3； 当x=-1时，y=0， （2x+3y2）min=－2

篇二：高中数学竞赛标准教材(共18讲)

第一章 集合与简易逻辑

一、基础知识

定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x在集合A中，称x属于A，记为x?A，否则称x不属于A，记作x?A。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用?来表示。集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数，xx?0分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为A?B，例如N?Z。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。

定义3 交集，A?B?xx?A且x?B.

定义4 并集，A?B?xx?A或x?B.

定义5 补集，若A?I,则C1A?xx?I,且x?A称为A在I中的补集。

定义6 差集，AB?xx?A,且x?B。

定义7 集合xa?x?b,x?R,a?b记作开区间(a,b)，集合

xa?x?b,x?R,a?b记作闭区间[a,b]，R记作(??,??).

定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有：

（1）A?(B?C)?(A?B)?(A?C); （2）A?(B?C)?(A?B)?(A?C)；

（3）C1A?C1B?C1(A?B); （4）C1A?C1B?C1(A?B).

这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。

（1）若x?A?(B?C)，则x?A，且x?B或x?C，所以x?(A?B)或x?(A?C)，

即x?(A?B)?(A?C)；反之，x?(A?B)?(A?C)，则x?(A?B)或x?(A?C)，即x?A且x?B或x?C，即x?A且x?(B?C)，即x?A?(B?C).

（3）若x?C1A?C1B，则x?C1A或x?C1B，所以x?A或x?B，所以x?(A?B)，又x?I，所以x?C1(A?B)，即C1A?C1B?C1(A?B)，反之也有

C1(A?B)?C1A?C1B.

定理2 加法原理：做一件事有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法，…，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N?m1?m2???mn种不同的方法。

定理3 乘法原理：做一件事分n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，…，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N?m1?m2???mn种不同的方法。

二、方法与例题

1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。

例1 设M?aa?x?y,x,y?Z，求证：

（1）2k?1?M,(k?Z)；

（2）4k?2?M,(k?Z)；

（3）若p?M,q?M，则pq?M.

22[证明]（1）因为k,k?1?Z，且2k?1?k?(k?1)，所以2k?1?M.

22（2）假设4k?2?M(k?Z)，则存在x,y?Z，使4k?2?x?y，由于x?y和x?y

22有相同的奇偶性，所以x?y?(x?y)(x?y)是奇数或4的倍数，不可能等于4k?2，22

假设不成立，所以4k?2?M.

（3）设p?x?y,q?a?b,x,y,a,b?Z，则pq?(x?y)(a?b) 22222222

?a2a2?y2b2?x2b2?y2a2?(xa?yb)2?(xb?ya)2?M

（因为xa?ya?Z,xb?ya?Z）。

2．利用子集的定义证明集合相等，先证A?B，再证B?A，则A=B。

例2 设A，B是两个集合，又设集合M满足

A?M?B?M?A?B,A?B?M?A?B，求集合M（用A，B表示）。

先证(A?B)?M，若x?(A?B)，因为A?M?A?B，所以x?A?M,x?M，所以(A?B)?M；

再证M?(A?B)，若x?M，则x?A?B?M?A?B.1）若x?A，则

x?A?M?A?B；2）若x?B，则x?B?M?A?B。所以M?(A?B). 综上，M?A?B.

3．分类讨论思想的应用。

222例3 A?xx?3x?2?0,B?xx?ax?a?1?0,C?xx?mx?2?0，若

A?B?A,A?C?C，求a,m.

2依题设，A?1,2，再由x?ax?a?1?0解得x?a?1或x?1，

因为A?B?A，所以B?A，所以a?1?A，所以a?1?1或2，所以a?2或3。

2因为A?C?C，所以C?A，若C??，则??m?8?0，即?22?m?22，

若C??，则1?C或2?C，解得m?3.

综上所述，a?2或a?3；m?3或?22?m?2。

4．计数原理的应用。

例4 集合A，B，C是I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集，（1）若A?B?I，求有序集合对（A，B）的个数；（2）求I的非空真子集的个数。

（1）集合I可划分为三个不相交的子集；AB，BA，A?B,I中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个。

（2）I的子集分三类：空集，非空真子集，集合I本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由

乘法原理，子集共有2

5．配对方法。 10?1024个，非空真子集有1022个。

例5 给定集合I?1,2,3,?,n的k个子集：A1,A2,?,Ak，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k的值。

将I的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得2

这k个子集中，因此，k?2n?1n?1对，每一对不能同在；其次，每一对中必有一个在这k个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C1A与A，并设A?A1??，则A1?C1A，从而可以在k个子集中再添加C1A，与已知矛盾，所以k?2

6．竞赛常用方法与例问题。

定理4 容斥原理；用A表示集合A的元素个数，则A?B?A?B?A?B, n?1。综上，k?2n?1。

需要xy此结论可以A?B?C?A?B?C?A?B?A?C?B?C?A?B?C，

推广到n个集合的情况，即?

?A

i?1ni??Ai??Ai?Aj?i?1i?jn1?i?j?k?n?Ai?Aj?Ak???(?1)n?1?Ai?1ni.

定义8 集合的划分：若A1?A2???An?I，且Ai?Aj??(1?i,j?n,i?j)，则这些子集的全集叫I的一个n-划分。

定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。

定理6 抽屉原理：将mn?1个元素放入n(n?1)个抽屉，必有一个抽屉放有不少于m?1个元素，也必有一个抽屉放有不多于m个元素；将无穷多个元素放入n个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。

例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。

记I?1,2,3,?,100,A?x?x?100,且x能被2整除（记为2x），B?x?x?100,x,C?x?x?100,5x，由容斥原理，

?100??100?A?B?C?A?B?C?A?B?B?C?C?A?A?B?C????????2??3?

?100??100??100??100??100??????????74，所以不能被2，3，5整除的数有???????5??6??10??15??30?

I?A?B?C?26个。

例7 S是集合1，2，…，2004的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S中最多含有多少个元素？

将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。又因为2004=182×11+2，所以S一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当

恰有S?912，且S满足题目条件，S?rr?11k?t,t?1,2,4,7,10,r?2004,k?N时，所以最少含有912个元素。

例8 求所有自然数n(n?2)，使得存在实数a1,a2,?,an满足：

ai?aj?i?j?n?1,2,?,n(n?1) 2

当n?2时，a1?0,a2?1；当n?3时，a1?0,a2?1,a3?3；当n?4时， a1?0,a2?2,a3?5,a4?1。下证当n?5时，不存在a1,a2,?,an满足条件。 令0?a1?a2???an，则an?n(n?1). 2

所以必存在某两个下标i?j，使得ai?aj?an?1，所以an?1?an?1?a1?an?1或an?1?an?a2，即a2?1，所以an?

（ⅰ）若an?n(n?1)n(n?1),an?1?an?1或an?，a2?1。 22n(n?1),an?1?an?1，考虑an?2，有an?2?an?2或an?2?an?a2，2

即a2?2，设an?2?an?2，则an?1?an?2?an?an?1，导致矛盾，故只有a2?2. 考虑an?3，有an?3?an?2或an?3?an?a3，即a3?3，设an?3?an?2，则

设a3?3，则an?an?1?1?a3?a2，又推出矛盾， an?1?an?2?2?a2?a0，推出矛盾，

所以an?2?a2,n?4故当n?5时，不存在满足条件的实数。

（ⅱ）若an?n(n?1),a2?1，考虑an?2，有an?2?an?1或an?2?an?a3，即2

篇三：数学竞赛书籍推荐

细数那些年曾看过的数竞好书

——转摘于网络

竞赛的学习远不同于高考，差异性的根源就来自老师这一角色的转变。所谓的教练，已经从传道授业解惑的老师，转变为了引路的灯塔。他们可以为学生搜集资料，编制试题，懂得启发、引导学生思考，善于布局谋划学生的发展方向，却极少拿起教材真正教你些什么。

当学习过程中的第一知识来源几乎不再为你注入源头活水的时候，你自然明白，书本就成了你获取知识的唯一可行途径。你看什么书，它知识点讲解是否清楚，它囊括的练习题是否典型而具有启发性，就直接决定了你的学习质量，其重要性无需我再多言。

作为一个数学竞赛的过来人，我写下这篇文章，按照时间顺序分段介绍数学竞赛几个必经的层次，及其对应的参考书籍。希望给正在或者即将踏上长路奔驰的你，带来一些实质性的帮助。

Period 1：初三毕业的那个夏天——高一的第一个学期结束

第一阶段是大多数竞赛生学习必备知识的阶段，说白了就是先把高考课程内要求掌握的所有知识自学完成，吃饱了上路。这一阶段的目标，清晰明确：配合老师的课堂教学，尽可能快地自学完成高考数学的绝大多数内容，在最短时间内达到高考的要求。

在这一部分，我并没有什么值得推荐的参考书，我只想介绍我当时的情况。我高中的第一个学期，期中考试数学分数非常低，这不是我个人的问题，而是我们整个数学竞赛组都存在的麻烦。于是我的竞赛老师就自己搜集了一些高考的难题，汇总，并且按照联赛一试的形式命制成了一套套的试题让我们练习。毫不夸张地说，到了期末，数学组的高考数学成绩就统治全班了，前前后后不过两个月的时间。

Period 2：高一第一学期结束的寒假

第二阶段是竞赛生第一次真正意义上地开始竞赛的学习，是飞机起飞前的第一冲刺滑行阶段。我建议你需要完成的事情是：学习一试的内容和平面几何的内容。

对于一试部分的内容，我推荐的教材是华东师范大学出版社出版的《奥数教程》，注意是高一年级和高二年级的基础篇（只有基础篇）。学数学竞赛的人不可能没听说这一套书，这一系列共分三本，分别在封面注明了高一到高三三个年级。高一的这一本包括的知识点有：集合、函数、数列、三角函数、向量和立体几何，除了集合包含一定的组合知识，其他的内容均为一试内容（可能还包括一点二试的代数内容），题目非常典型且有难度，不管是基础篇还是提高篇都是必须刷完的；高二这本书基础篇包括：一试难度的不等式，解析几何和复数，提高篇基本就是二试内容了，不推荐在这个阶段完成。

平面几何的内容，我只推荐一本书，这本书也是我唯一看过的一本平面几何的书：《奥赛经典——奥林匹克数学中的几何问题》，主要由沈文选老师编写，湖南师范大学出版社出版。请你无视第二篇和第三篇关于立体几何和解析几何的内容，重点在第一篇。除了三四五六七章（从托勒密到九点圆）可以略看，不是考察重点，其他都要认真看。这本书的精华就在每一章节的基础知识部分，严密细致的总结归纳，堪称平面几何教科书的典范。另外这本书上的题目难度分级也很合理，不是一味的难或者水，刷的时候可以明显感觉到能力的提升。一个小的不足是错误较多。

关于这一阶段的学习，还要多啰嗦几句。第一，两条线要穿插着进行，尤其是一试内容的学习，不仅是在这一阶段，在以后的过程中，都要保证常规的最低训练量；第二，这个阶段以及第三阶段，

都是新知识学习的阶段，你的目标很明确：快速地把这个圈子摸一遍。所以对于部分难题，该放的果断放，必须保证一定的学习速度，但同时要保证质量，走马观花同样是大忌，建议题目的完成+阅读率在80-90％。

Period 3： 高一第二学期开始到高一结束后暑假的中期

第三阶段是你一试实力进一步提升的阶段，同时也是你开始接触二试部分较难知识（数论、组合）的时期。一试在第二阶段已经说过，在第三阶段你要持续看那两本书。

二试还有三块重要的内容你需要接触：代数、数论和组合。

代数方面，和刷什么书相比更重要的事情是，先说清楚一个未公开的公认事实：代数不一定考，要考也只能是不等式或者数列函数等和一试紧密联系的部分。明面上代数的内容包括不等式、多项式、所有函数、数列、复数等内容，但实际上你需要真的把它当作二试内容来训练的，就只有不等式。不等式的内容，我当时练习的是高二年级的《奥数教程》提高篇不等式的部分，难度适中，没有什么特别的亮点，但是入门已经足够了。（在这个阶段，不等式也不是你的准备重点）

数论方面，我推荐必读书有两本：《奥数教程》高三年级里面的数论部分（第6-10讲以及第19、20讲），还有《数学奥林匹克小丛书高中卷10数论》，两本书均由余红兵老师编写。说起余老师，他绝对算得上是数学竞赛界数论这一块数一数二的老师，他编写的教材精致而有深度，这两本书是不得不刷的。《奥数教程》这一本，题目简单基础，非常适合入门阅读。它的闪亮之处，在于余老师给知识点和问题分析写下的注解，一步步引导你思考和挖掘问题，这是竞赛书籍里绝无仅有的，值得你一个一个字地细看深思。而小丛书那一本，就已经具有一定的难度了，题目非常典型和深刻，属于进阶的数论书，适合在入门后阅读。

组合方面，在这个阶段我推荐的书是《数学奥林匹克小丛书高中卷11组合数学》，由张垚老师编著。除了母函数这一节可以略看，其他几章章章都堪称精华，难度梯度设置合理，知识覆盖全面，题目典型而有深度，解答细致易懂。即便是入门书籍，它也已经具有了相当的难度，能真正看好这本书，全国联赛的组合基础题肯定是不在话下的。

最后多说一句，组合和数论是二试内容中较难的两块，尤其是组合千变万化，思维性稍欠缺一点的同学会觉得很难上手。如果你在看书的时候觉得很吃力，一定要把速度降下来。

Period 4：高一结束暑假的中后期——高二开学不久的数学联赛

第二、三阶段都是竞赛内容全面铺开、构建知识网络的时期，是你储备知识，提高水平的发酵期，那么现在就是验收成果的时候了，你直面的就是数学联赛。你在这一阶段会经历一个大爆发的过程，你这一步究竟飞得有多高，直接取决于你前两个阶段准备得怎样。

这一阶段，我不再推荐新的书，你可以把前两个阶段没有刷完的书继续跟进。但是有一本刊物：《中等数学》，它每年到了暑假就会发行几本增刊，有一本收集了上一年全国乃至全世界各地的考题，有一本就是各省的竞赛名师专门为联赛命制的模拟题，后者是你准备联赛的利器。这本增刊一般都包括十几套模拟题，其中每一套你都要当作模拟考试一样限时完成，书写过程然后阅卷。需要注意的是，不同的老师有不同的喜好，命制的模拟题风格各异。整本增刊良莠不齐，大多数都是好的，但是个别的几套真的很过分（比如我当年遇到一套题，把一试题当作二试题出，全组一试的平均分不超过30分，一半同学0分或者8分），你需要自己判断。

最后补充几句话，这一阶段通过练习联赛模拟题，预期的效果当然把你前期的积累转化为联赛的分数，说白了就是找找联赛的感觉。除此之外，你的一试还会有很大的提升或者巩固，所以你务必把你的一试错题整理收集，一定要保证所有的一试题是以下几种情况：正确完成；算错了的重新计算；不会的看过解答，弄明白了。另一方面，你的二试不会有硬实力的提高，所以如果你遇到了一些看不太明白的二试题，就让它去吧。

Period 5：高二联赛结束——高二结束暑假的前中期

高二的联赛是一个分水岭。如果你的竞赛目标是强省的省队，国赛金牌，集训队甚至更远，下面的推荐适合你。如果你的目标没有这么远，剩下的内容你可以完全忽略，前几个阶段的事情，你大可放慢速度。情况就是这样：我之前的推荐那些书，真正看好，就已经能够达到弱省省队和强省省一等奖的层次。

高二联赛的准备，你的一试、平面几何基本达到了联赛要求，这两块也不会是你高二这一年的准备重点，你的重心需要转移到剩下的三个内容上来，尤其是数论和组合。

先说任务量稍轻的一块吧。关于代数，尽管多项式的内容在近几年的各类大型考试中几乎销声匿迹，但是你也要提防，我的建议是刷完余红兵老师的《奥数教程》高三年级多项式部分即可。关于不等式，如果你想要练，建议是《数学奥林匹克小丛书高中卷5不等式的解题方法和技巧》，由苏勇和熊斌两位老师合著。之前说过的《奥数教程》高二年级的部分主要是针对重要的不等式，这一本书则是针对不等式的技巧方法，全面细致。

以上关于代数部分的建议，你根据自己的情况适当调整，不想刷也没关系，但是以下关于数论和组合的部分是必看的。

数论方面，只需做好一本书，不用再看其他的书，就可以达到冬令营的难度要求，甚至走得更远。这本书就是《数学奥林匹克命题人讲座——初等数论》，由冯志刚编写，上海科技教育出版社出版。这本书知识讲解几乎可以忽略，远没有余老师的书出色，但是这本书涵盖了大量的习题，简直就是数论这一块的黄金题库，题目的质量实在是太高（大多数都是很难的，尤其是第一章难度最高），一道道刷过来，数论的能力会有质的飞越。

组合方面，我推荐三本书，推荐首先阅读第一本：《奥赛经典——奥林匹克数学中的组合问题》，这是组合这一块综合性的大百科全书，除了第一二章可以略看，后五章要认真刷完，题量大，题目质量很高，对于组合能力的提升要很大的帮助。剩下的两本书，你可以根据需要选择其中一本刷。两本书是《数学奥林匹克小丛书高中卷13组合极值》以及《高中数学竞赛专题讲座——组合构造》，都是由冯越峰老师编著。上面收集的问题同样很精彩，尤其是后者，难度很大，有能力可以两本都刷，组合多练一些绝对错不了。

最后一个建议是，如果你平时有机会进行一些模拟考试，推荐这一阶段不要考联赛模拟题，难度要上升，需要尝试去考CMO，美国数学奥林匹克竞赛，有能力甚至可以去试试国家集训队测试、国家队选拔、罗马尼亚大师杯和IMO（在《走向IMO》系列丛书中都有收录）。如果说高二的联赛你是够着去考的话，高三这一年你需要以俯视的姿态回归。有意的拔高难度，才能够做到在联赛的考试中游刃有余。

Period 6：高二结束暑假的后期——高三联赛

这一阶段，是你在一系列拔高练习之后的回归期。这一阶段你要做好两件事。

首先，把你之前刷过的所有书都要过一遍，作为复习。这一个习惯很重要，而且很多人都没有这个习惯。第一遍看书时难免走得坑坑洼洼，有些题压根没看，有些题当时没看懂，现在是时候回过头来料理它们的时候了。你现在可以从一个更高的观点，去审视原来的问题，想想这道题是怎么来的？它的背后蕴藏了什么东西？这类技巧还经常在哪些题中出现？当时我为什么没有做出来……一切有意义、有价值的问题，你都可以去思考，然后把你的感悟记下来，这就是总结，它可以帮助你完善知识网络，加深印象，更重要的是它能够帮助你形成解题的经验。另外一个好处就是，当你发现当年把你虐得死去活来的问题不过就那么回事的时候，心情真是倍儿爽。

其次，高二暑假出来的那一本《中等数学》的增刊你需要完成，这一点无需我多说，你已经明白。

Period 7：高三联赛结束——中国数学奥林匹克竞赛（又称国赛、冬令营、CMO）

如果你考进了省代表队，并且有资格参加国赛，那你的数学竞赛之路还能继续往前走。联赛结束到国赛开始，还有一段时间，在这个阶段，你需要刷的是三本书。其中两本是《数学竞赛研究教程》的上下册，还有一本就是《奥数教程学习手册》高三年级，在解答部分结束之后有两个专题：组合问题和数论问题，上面收集的题目和所做的注解非常棒。

除了书之外，你还需要拔高难度去练习一些国家集训队测试、国家队选拔、美赛、罗马尼亚大师杯、IMO等试题，在《走向IMO》系列丛书中都有收录。

如果你在国赛当中取得了不错的成绩，升学问题就不用担心了，我分享的经验也就到此结束。最后我想总结几点，作为提醒送给你：

竞赛书在精不在多。这是我一路走来的一大感悟，我用我亲身经历和我看见的实例告诉你，很多时候一本书就足够练好一大块内容，一本书刷好了就可以有惊艳的表现。水平上不来，不是因为你书刷得不够，而是你刷得不好。

竞赛书不能光看，一定要自己动笔练习。很多人习惯非常不好，只看不做，很多问题的解答非常精彩，你直接去阅读和你先动笔试试再去看，收获的东西是不在一个数量级上的。

看书的时候要养成动笔记录想法、观点的习惯。我见过身边很多人看完的书干净得像没看过一样，做出来了的打个勾，没做出来的画个圈，仅此而已。这是很糟糕的习惯。刷题时一定要记录一切有价值，有意义的东西，可以是不同于解答的新解法，可以是你的思考和感悟，也可以是你的困惑，总之一切你认为的闪光点，都值得记录。

切忌走马观花，但也不能在一个角落过分纠结。这是两种极端，有些人看书飘得很高，这样的人其实什么都学不到，最后注定死得很惨。但也有些人看书过分追求完美，总觉得我要无死角扫平这本书，但这是不可能的，有些难题和偏题，适当跳过也是必须的。

要有书看多遍的习惯，这个之前也提过。一本书看第二遍的时候，整个人的感觉都会不一样，觉得自己就像处在另外一个境界，很多问题一下就豁然开朗，这样的体验非常奇妙，而且能够给你带来实质性的帮助——经验式解题的形成，对于稳定联赛成绩，避免极端情况的发生，它具有关键性的作用。