证明直线与圆相切的方法

证明直线与圆相切的方法

  在我们平凡的日常里,大家高中数学免不了要接触或直线与圆相切吧,以下是小编帮大家整理的证明直线与圆相切的方法,供大家参考借鉴,希望可以帮助到有需要的朋友。

  证明直线与圆相切主要有以下两种方法:

  一、根据切线的判定定理

  经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

  当已知直线与圆有公共点时,常用此法。辅助线是连结公共点和圆心,只要设法证明直线与半径垂直即可。

  例1. (2004年江苏省淮安市中考题)

  已知:如图1,在△ABC中,∠BAC的平分线AD交△ABC的外接圆⊙O于点D,交BC于点G。


  

  图1

  (1)连结CD,若AG=4,DG=2,求CD的长;(解略)

  (2)过点D作EF∥BC,分别交AB、AC的延长线于点E、F。求证:EF与⊙O相切。

  证明:(2)连结OD,由∠1=∠2,

  得


  

  ,则OD⊥BC

  所以


  

  因为EF∥BC,所以∠BCD=∠CDF

  从而


  

  即EF⊥OD,所以EF与⊙O相切。

  例2. (2002年湖北省黄冈市中考题)

  如图2,BE是⊙O的直径,点A在BE的'延长线上,弦PD⊥BE,垂足为C,连结OD,且∠AOD=∠APC。

  (1)求证:AP是⊙O的切线。

  (2)略。


  

  图2

  证明:连结OP,因为PD⊥BE,OP=OD

  所以∠POB=∠DOB,而∠APD=∠DOB

  所以∠POB=∠APD

  由PD⊥BE得:∠POB+∠OPC=90°

  即∠APD+∠OPC=90°

  所以AP是⊙O的切线

  二、根据直线与圆的位置关系

  若圆心到直线的距离等于圆的半径,则直线与圆相切。

  当题设中不能肯定直线与圆有公共点时,常用此法。辅助线是过圆心作该直线的垂线段,只要设法证明垂线段等于半径即可。

  例3. (2003年甘肃省中考题)

  如图3,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心、r为半径作圆,当r=2.4时,AB与圆有怎样的位置关系?为什么?


  

  图3

  解:作CD⊥AB,垂足为D,则


  

  由CD·AB=AC·BC得:


  

  即AB与圆相切。

  例4. 如图4,AB是⊙O的直径,AC⊥,BD⊥,C、D为垂足,且AC+BD=AB,求证:直线与⊙O相切。


  

  图4

  证明:过O作OE⊥,E为垂足,则

  OE∥AC∥BD,又AO=BO

  所以


  

  而


  

  ,则


  

  即垂线段OE等于圆的半径,所以直线是⊙O的切线。

版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 1156092664@qq.com 举报,一经查实,本站将立刻删除。

在线客服
分享本页
返回顶部